Technique de la multiplication dans l'Égypte antique

Cet article est membre de la série Sciences dans l'Égypte antique

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La technique de multiplication en Égypte antique reposait sur la décomposition d'un des nombres (généralement le plus petit) en une somme et la création d'une table de puissance pour l'autre nombre. Fréquemment, cette décomposition s'effectuait suivant les puissances de deux. Mais celle-ci pouvait fluctuer selon la complexité de l'opération. Le plus petit nombre pouvait ainsi être décomposé alternativement suivant les puissances de deux, les dizaines et les fractions principales telles que 2/3, 1/3, 1/10 etc.

Cette technique est surtout connue grâce au papyrus Rhind, papyrus hiératique rédigé au XVII^e siècle av. J. -C. (env. -1650) où le sage Ahmès expose les connaissances mathématiques de son temps.

La décomposition suivant les puissances de deux

La décomposition par somme de puissances de deux n'est en fait qu'un changement de base 10 en base 2, mais les Égyptiens de l'antiquité ignorant tout de ces concepts devaient recourir à des techniques plus simples.

Les puissances de deux sont la suite de nombres commençant par 1 et dont les nombres s'obtiennent en multipliant le précédent par deux (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, etc. ). Les Égyptiens de l'Antiquité devaient disposer de tables contenant la plupart de puissances de 2 pour ne pas être obligés de les recalculer à chaque fois. La décomposition d'un nombre consiste par conséquent à retrouver les puissances de deux qui le composent. Les Égyptiens savaient de façon empirique qu'une puissance de 2 donnée n'apparaît qu'une seule fois dans un nombre. Pour la décomposition, ils procédaient méthodiquement ; ils trouvaient en premier lieu la plus grande puissance de deux inférieure ou égale au nombre en question, la soustrayaient et recommençaient l'opération jusqu'à ce qu'il ne reste plus rien (les Égyptiens ne faisaient pas intervenir le zéro dans les mathématiques).

Exemple de la décomposition du nombre 25 :

• la plus grande puissance de deux inférieure ou égale à 25 est 16,
• 25 – 16 = 9,
• la plus grande puissance de deux inférieure ou égale à 9 est 8,
• 9 – 8 = 1,
• la plus grande puissance de deux inférieure ou égale à 1 est 1,
• 1 – 1 = rien,

25 est par conséquent la somme des puissances de deux : 16, 8 et 1.

La table

Par la suite, il suffisait de construire la table des puissances de deux du deuxième opérateur de la multiplication (généralement le plus petit) de 1 à la plus grande puissance de deux trouvé lors de la décomposition. Dans ce tableau, la ligne s'obtient en multipliant la précédente par 2.

A titre d'exemple, si la plus grande puissance de deux trouvée lors de la décomposition est 16 et que le deuxième nombre de la multiplication est 7, il faut créer le tableau suivant :

• 1 : 7
• 2 : 14
• 4 : 28
• 8 : 56
• 16 : 112

Le résultat

Le résultat s'obtient en additionnant l'ensemble des nombres de la seconde colonne dont la puissance de deux correspondante est membre de la décomposition du premier nombre.

Le gros avantage de cette technique est qu'elle ne fait intervenir que des additions, des soustractions et des multiplications par deux.

Exemple

Voici, en chiffres actuels, comment ils multipliaient 238 par 13. Ils multipliaient par deux d'une ligne à l'autre et cochaient en regard.

?	1	238
	2	476
?	4	952
?	8	1904
	13	3094

13 = 8 + 4 + 1 par conséquent selon la distributivité de la multiplication comparé à l'addition, 13 × 238 = (8 + 4 + 1) × 238 = 8 × 238 + 4 × 238 + 1 × 238 = 3094.

Méthode générale de décomposition

Des opérations plus complexes faisant intervenir par exemple des fractions, exigeaient une décomposition avec, hormis les puissances de deux, les fractions principales mais aussi les dizaines. La technique est d'ailleurs rigoureusement la même que celle décrite ci-dessus mais offre plus de liberté au scribe quant à la décomposition du petit nombre.

L'exemple déjà traité ci-dessus de la multiplication de 238 par 13 pouvait ainsi être traitée de cette manière :

?	1	238
?	2	476
?	10	2380
	13	3094

L'exemple suivant est tiré du Papyrus Rhind^[1] : multiplication de 1/14 par 1 1/2 1/4

?	1	1/14
?	1/2	1/28
?	1/4	1/56
	1 1/2 1/4	1/8 (car 1/8 = 1/14+1/28+1/56)

Le résultat de 1/14 * (1 1/2 1/4) est par conséquent 1/8

Notes et références

Égypte antique

• Numération égyptienne
• Mathématiques dans l'Égypte antique
• Papyrus Rhind

Technique de multiplication

• Technique de multiplication dite russe

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